Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 17 & 22 & 4 2 & 9 & 11 4 & 6 & 13 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$3$ est la matrice carrée

$3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez

$I_{3}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 + 0 & 4 + 0 \\ 2 + 0 & 9 - λ & 11 + 0 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez

$22$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 + 0 \\ 2 + 0 & 9 - λ & 11 + 0 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 + 0 & 9 - λ & 11 + 0 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 & 9 - λ & 11 + 0 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez

$11$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 & 9 - λ & 11 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 & 9 - λ & 11 \\ 4 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez

$6$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 & 9 - λ & 11 \\ 4 & 6 & 13 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 - λ & 11 \\ 6 & 13 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(17 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 11 \\ 6 & 13 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (17 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 11 \\ 6 & 13 - λ \end{array} | - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 9 - λ & 11 \\ 6 & 13 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (17 - λ) ((9 - λ) (13 - λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Développez

$(9 - λ) (13 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (17 - λ) (9 (13 - λ) - λ (13 - λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (17 - λ) (9 \cdot 13 + 9 (- λ) - λ (13 - λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (17 - λ) (9 \cdot 13 + 9 (- λ) - λ \cdot 13 - λ (- λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.2.1.1

Multipliez

$9$ par

$13$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 + 9 (- λ) - λ \cdot 13 - λ (- λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$9$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - λ \cdot 13 - λ (- λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.3

Multipliez

$13$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ - λ (- λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ + 1 λ^{2} - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ + λ^{2} - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.2

Soustrayez

$13 λ$ de

$- 9 λ$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 22 λ + λ^{2} - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez

$- 6$ par

$11$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 22 λ + λ^{2} - 66) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez

$66$ de

$117$ .

$p (λ) = (17 - λ) (- 22 λ + λ^{2} + 51) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 22 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (2 (13 - λ) - 4 \cdot 11) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (2 \cdot 13 + 2 (- λ) - 4 \cdot 11) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez

$2$ par

$13$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (26 + 2 (- λ) - 4 \cdot 11) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (26 - 2 λ - 4 \cdot 11) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4

Multipliez

$- 4$ par

$11$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (26 - 2 λ - 44) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez

$44$ de

$26$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (2 \cdot 6 - 4 (9 - λ))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$6$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (12 - 4 (9 - λ))$

Étape 5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (12 - 4 \cdot 9 - 4 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez

$- 4$ par

$9$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (12 - 36 - 4 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (12 - 36 + 4 λ)$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez

$36$ de

$12$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (- 24 + 4 λ)$

Étape 5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 24$ et

$4 λ$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Développez

$(17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 17 λ^{2} + 17 (- 22 λ) + 17 \cdot 51 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez

$- 22$ par

$17$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 17 \cdot 51 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez

$17$ par

$51$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - (λ^{2} λ) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

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Étape 5.5.1.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{2 + 1} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - 1 \cdot - 22 λ \cdot λ - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - 1 \cdot - 22 (λ \cdot λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - 1 \cdot - 22 λ^{2} - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 22$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} + 22 λ^{2} - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.2.7

Multipliez

$51$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} + 22 λ^{2} - 51 λ - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.3

Additionnez

$17 λ^{2}$ et

$22 λ^{2}$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - 51 λ - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.4

Soustrayez

$51 λ$ de

$- 374 λ$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} - 22 (- 2 λ) - 22 \cdot - 18 + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.6

Multipliez

$- 2$ par

$- 22$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ - 22 \cdot - 18 + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.7

Multipliez

$- 22$ par

$- 18$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ + 396 + 4 (4 λ - 24)$

Étape 5.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ + 396 + 4 (4 λ) + 4 \cdot - 24$

Étape 5.5.1.9

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ + 396 + 16 λ + 4 \cdot - 24$

Étape 5.5.1.10

Multipliez

$4$ par

$- 24$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ + 396 + 16 λ - 96$

Étape 5.5.2

Additionnez

$- 425 λ$ et

$44 λ$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 381 λ + 867 - λ^{3} + 396 + 16 λ - 96$

Étape 5.5.3

Additionnez

$- 381 λ$ et

$16 λ$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 365 λ + 867 - λ^{3} + 396 - 96$

Étape 5.5.4

Additionnez

$867$ et

$396$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 365 λ - λ^{3} + 1263 - 96$

Étape 5.5.5

Soustrayez

$96$ de

$1263$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 365 λ - λ^{3} + 1167$

Étape 5.5.6

Déplacez

$- 365 λ$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - λ^{3} - 365 λ + 1167$

Étape 5.5.7

Remettez dans l’ordre

$39 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 39 λ^{2} - 365 λ + 1167$